Обычно этот вопрос решается между покупателем и продавцом на этапе покупки квартиры. Если по поводу долга никакой договоренности всё же не было, новый собственник квартиры не отвечает по долгам за ЖКУ предыдущего.

Собственник обязан платить за ЖКУ с того момента, как у него возникло право собственности на жилье (п. 5 ч. 2 ст. 153 Жилищного кодекса РФ). 

Поскольку обязанность оплачивать содержание жилого помещения и коммунальные услуги не переходит вместе с квартирой. В этом случае новому собственнику необходимо открыть новый лицевой счет на оплату ЖКУ.